█ 擺線族曲線在機械工程上的應用
文、圖◎李志中教授
對於一個圓在直線或另一個圓上滾動時，圓上任一點所描繪的軌跡，早在十五、十六世紀時，便有數學家笛卡爾、天文學家伽利略及科學家牛頓等人研究。當時的研究著眼在是否能產生等週期運動的單擺、等時降曲線(Tautochrone curve，意謂一種曲線可以讓質點不論放置在曲線上的任何位置，使其自由下滑時，均可同時抵達最低點)、最速降曲線(Brachistochrone curve，意謂一種曲線可以讓質點放置在位置A時，使其自由下滑到達另一不高過於A點位置的時間最短)以及適合的齒形供帶齒的轉輪使用。直到今日，仍有許多數學家著迷於此種曲線的研究。
滾動圓沿著一固定曲線滾動時，其上的點所生成的軌跡線通稱為次擺線(Trochoid)。
次擺線又可以分為下列幾種：
若此固定曲線為一圓，而滾動圓在此固定圓外運動時，所生成的曲線稱為外次擺線(Epitrochoid)，如圖1所示；若滾動圓在固定圓的內側滾動時，所生成的曲線稱為內次擺線(Hypotrochoid)，如圖2所示；若固定曲線為一直線時，則所生成的曲線即為擺線(Cycloid)，如圖3所示。而點在滾動圓外部、圓上及圓內部所生成的線又可分為長幅(Prolate)、一般(Ordinary)及短幅(Curtate)。這些次擺線在工程上有何用途呢? 以下即是一些例子：
A.用於產生直線運動之機構
針對內次擺線的情形，當小圓(滾動圓)半徑為大圓(固定圓)半徑一半時，使小圓在大圓內側滾動，則小圓圓周上的一點所描繪的曲線將為一直線。由於此種特性，工程師可以設計出一種機構，使機構上一個點的運動是沿著直線運動，其機構簡圖如圖4所示[1]。圖4中，利用一內齒輪及外齒輪的組合，使外齒輪在內齒輪內滾動，則在外齒輪的輪緣上的一點，其運動軌跡將為一直線。這一發明大概在19世紀初，由詹姆斯·懷特所提出[2]，主要想供蒸氣機傳動運動使用，在當時還曾獲得拿破崙頒發了獎牌。
B.魯氏鼓風機
魯氏鼓風機(Root’s blower)內部設置有兩只外形如“8”字形的轉子，互朝相反方向旋轉，如圖5(a)所示。兩只相同的轉子配合一起轉動，可將上方進氣口的氣體擠壓至下方口而排出。轉子外形的產生則是由一小圓在一固定圓的外緣及內緣滾動所產生的軌跡，如圖5(b)所示[3]。
C.旋轉式內燃機
旋轉式內燃機又稱為萬克引擎(Wankel engine)，內部構造如圖6所示，主要由三個構件組成:轉子、定子及機殼，其中轉子內部有一內齒輪，定子為一固定不動的外齒輪；因此當轉子在定子的外緣轉動時，轉子上的尖點(A點)所循的軌跡即為內次擺線的變形，即滾動圓的半徑大於固定圓時，滾動圓上的點所畫出的軌跡。旋轉式內燃機轉子的外形將腔室分成三個部份，分別供進氣、點火燃燒及排氣之用。當燃油混合著空氣進入腔室後，被轉子推進到燃燒腔室後，點火進行爆炸燃燒，此時便提供了轉子旋轉的動力，之後轉子將氣體送至排氣腔室將廢氣排出完成一個循環的運動。
D. 擺線齒減速機
擺線齒減速機(Cycloidal gear reducer)的內部構造如圖7所示，其主要由四個構件組成－即偏心曲柄、擺線盤、機殼上的針齒及輸出轉盤。擺線齒減速機的作動原理類似一外圓在另一固定圓內緣滾動，只不過外圓換成擺線盤，而固定圓換成由針齒所組成的限制，因此當偏心曲柄在擺線盤的中心旋轉時，會擠壓擺線盤，使之與針齒接觸，使得擺線盤作行星運動，即對著本身的中心旋轉也繞著機殼的中心轉動；最後，藉由一輸出轉盤上的圓柱將擺線盤的行星運動轉換為繞著機殼中心旋轉的輸出。此擺線盤輪廓外形的製作，即是利用一滾動圓在固定圓上運動形成一短幅外擺線，接著在此外擺線上放置針齒圓，則針齒圓曲線族的包絡線(與每一個針齒相切的曲線)即為擺線盤的輪廓外形。擺線齒減速機主要供旋轉馬達需要減速及提高扭力時使用，常用在精密機械傳動之用。
擺線曲線族的研究已有四、五百年的歷史，至今已有許多工程上的應用例子，有些例子雖然已不再使用，如萬克引擎，有些例子仍然在現今的精密機械工程中應用，如擺線齒減速機。未來說不定仍有可能從擺線的運動中，找出可提供工程上應用之處，這就有賴於數學與工程更緊密的結合了。
█ 參考文獻
1.E.Ferguson,“Kinematics of Mechanisms from the Time of Watt,”U.S. National Museum Bulletin 228, Paper 227, contributions from the Museum of History and Technology. 185-230.
2.J.White,“A New Century of Inventions Being Designs & Descriptions of One Hundred Machines, relating to Arts, Manufactures, & Domestic Life,” Manchester, 1822, pp. 30-31.
3.https://www.wikiwand.com/en/Cycloid_gear , 2020年6月11日
4.https://en.wikipedia.org/wiki/Wankel_engine, 2020年6月11日
[致謝]
作者謝謝徐辰揚同學繪製擺線相關的圖形。
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