臺灣大學機械系電子報

文/圖 ◎ 王建凱助理教授

 

    在各種物理、化學與生物環境中，具有特定材料分佈之固體機械系統於穩態變動外力與扭力(或稱負載)過程中，有可能在不同方向造成極值變形，例如汽車引擎齒輪系統，當運轉的時候，在不同位置承受負載，當長期運轉時，有可能造成齒輪損壞。因此設計工程產品初期設計階段，需考慮對應各種環境負載之最大響應，才能夠發展出能夠全面地具有最佳服務性能之工程系統。一般工程設計所使用的最佳化設計理論，皆針對確定之載荷條件(已經知道負載的大小與位置)，成功地以數值演算方法求解出最佳之固體介質分佈，如圖一與二所示。

 

    因此，為有效解析考慮外力不確定性之系統最佳設計問題，研究學者致力於開發新穎分析與設計力學理論，並結合有限元素分析(將複雜大型的物理系統，分解為更小的模型進行分析模擬之數值方法)，對於有材料成本限制之工程系統於不確定載荷情況中，能有效率地解得響應極值為最小之介質分佈設計，以具有最佳之服務性能。

 

█   圖一、上：機械元件量測，下：設計與製造實務

█   圖二、上：機械引擎齒輪系統，下：航空器渦輪設計實例

  

    本文介紹一種研究方法: 最佳設計力學理論，主要可分為兩大部分：一是固體機械系統於承受不確定外力條件之極值變形解析式、二是材料分佈設計於承受不確定外力條件之極值變形靈敏度顯式函數，透過解析式與函數，可估算設計結果於穩態隨機變動負載過程中，並確認其極值變形響應超過設計值的故障機率是否符合要求。

 

    其原理如圖三所示，當固體機械系統承受來自環境的不確定載荷過程時，於不同位置之承載外力P₁ 、P₂與P₃，其值會隨著時間變化，不是一個定值，因此其變形峰值響應由荷載波動之相關統計特徵決定，如圖三右圖所示，三個力之間的相關性會影響整體系統的變形。為了明確地估計出相應於材料分佈變化下，系統於不確定載荷之絕對峰值響應變化，須基於固體力學理論與應用數學方法，推導出此靈敏度評估之解析形式，以在最佳設計程序中(如圖四所示)，於可能的解空間中，提供最適應之搜尋方向，最後以組合式(圖五)與連續式機械梁元件(圖六)於隨機變動負載之設計例做進一步說明。

 

 

 

 

█   圖三、於隨機變動負載過程之固體機械系統分析圖

 

       

█   圖四、固體機械系統於不確定荷載之最佳設計程序

 

    對於組合式機械梁元件(如圖五所示)，首先考慮組合式機械梁元件於隨機變動負載之設計，P₁ 和 P₂ 為時序相關之隨機變動負載序列，P₃為獨立之隨機負載過程，設計結果指出，在滿足節點編號10於垂直自由度極值響應為最小之條件下，能直接反映出整體材料成本之系統總重量，依序由P₁ 和 P₂為完全正相關、正相關、無相關、負相關、完全負相關與確定荷載而遞減，因而對於不同統計特徵隨機荷載，並符合設計條件下，能定量且精準地提出最具效率材料分配方式之拱形描述。對於組合式機械梁元件於隨機變動負載之設計(如圖六所示)，此亦為廣為盛名的米歇爾型（Michell-type）梁，P₁ 和 P₂亦為時序相關之隨機變動負載，設計結果指出，滿足節點編號1於垂直自由度極值響。

 

█   圖五、組合式機械梁元件於隨機變動負載之設計例，左上：初始設計；左下：相應不同時序相關程度隨機變動負載之最佳設計結果；右上：電腦迭代演算之收斂表現；右下：具時間序相關係數為 0.5之各隨機變動負載

 

█   圖六、連續式機械梁元件於隨機變動負載之兩設計例，上：初始設計；下：相應確定荷載、時序無相關、正相關、負相關、完全正相關與完全負相關隨機變動負載之最佳設計結果應為最小且材料成本為固定之設計條件下，外部框架與內部支撐正交的材料分佈與隨機荷載時序統計特徵具高度的相關性。

 

 

    由分析結果顯示，具有最佳服務性之材料分佈，高度地受到各自由度不確定負載相互時序相關程度之影響，本研究亦將受確定性載荷之常規系統最佳工程設計與上述對應不確定載荷之材料分佈進行比較。

 

    綜上所述，固體力學一直在工程與科技突破上扮演重要的角色，基於力學理論，致力於分析與設計工具之開發，能針對不確定環境載荷條件，從事系統與固體材料分佈之高效率設計研究，打造出創新研究之整合平台，對國家於智慧製造與精密量測之先進機械工程與科學技術，做出具體的貢獻。

 

參考文獻：

1. Chien-Kai Wang* & Ping-Liang Ko “Robust topology optimization of solid continua for peak response serviceability to uncertain quasi-static loads with temporal correlation,” Structural and Multidisciplinary Optimization, 60: 443-460, 2019.
2. Chien-Kai Wang*, Chang-Min Tsai, Bo-Sen Chuang & Yuan-Lung Lo “Structural optimization with design constraints on peak responses to temporally correlated quasi-static load processes,” Structural and Multidisciplinary Optimization, 59: 521-538, 2019.

 

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