█ 張鈞棣教授 懸浮液滴共振頻譜上失落的拼圖 Part 3
文/圖@台大機械 助理教授 張鈞棣
液滴振盪的相關研究始於Rayleigh和Lamb的小振幅振盪理論，但液滴的大振幅振盪似乎卻跟工程應用更直接相關。譬如，大振幅振盪使人們可將大液滴打散成許多小液滴，藉以在空氣中製造噴霧，或在液體中產生穩定的不互溶懸浮微液滴。反之，若能抑制液滴的大振幅振盪，噴墨印刷的墨滴將不再因不規則地破裂擴散，印刷品質即可提高。下文中的「大振幅」將不限於使液滴破裂的振幅，而是任何觸發液滴非線性振盪的振幅。
除了小振幅實驗，Trinh等人在1982年也發表了以[2, 0]模態為觀察對象的大振幅實驗結果[1]。大振幅實驗揭露了許多懸浮液滴在小振福實驗沒有的行為。首先，小振幅的液滴內部沒有封閉的流線，大振幅的有。其次，振幅夠大的音波除了讓液滴振盪，還會使液滴旋轉，甚至使液滴斷裂成數個小液滴。此外，液滴振幅夠大時，原本瘦長的液滴，振盪週期大半時間呈瘦長狀；原本扁胖的液滴，振盪週期大半時間是扁胖的。很不對稱的是，振幅越大，液滴呈瘦長狀的時間比例會增加。最後，大振幅震盪的液滴還呈現了很多Rayleigh和Lamb的線性理論無法描述的週期性的振動。這些都是液滴非線性振盪的行為。
Tsamopoulos和Brown推導了不帶電[2]與帶電[3]液滴的非線性振盪模型。針對不帶電、無黏性的球狀懸浮液滴，他們透過微擾理論導出軸對稱模態的形狀與頻率。結果顯示液滴振盪時，液滴呈瘦長狀的時間比扁胖狀的時間要長，且振幅越大，瘦長狀的時間佔振盪週期的比例就越大。此外，他們也探究懸浮液滴各模態之間的互動關係。若液滴不帶電，[2, 0]模態可能觸發[4, 0]；若液滴帶電，[4, 0]可觸發[6, 0]；若帶電量恰當，[3, 0]會觸發[5, 0]，而[4, 0]會觸發[8, 0]。由這些預測結果，兩位作者斷定模態間的能量傳遞具有專一性：只有特定模態能互傳能量。Trinh等人幾年後的實驗明顯地支持模態間能量傳遞的專一性。然而，對於哪些模態會互相觸發，實驗結果似乎與Tsamopoulos和Brown的預測不盡相同。
Trinh等人1998年的新實驗結果顯示次數高的模態（高次模態）若振幅夠大，次數低的模態（低次模態）可能也會被觸發，且兩者的振盪頻率都會是各自的自然振盪頻率[4]。譬如在實驗中，[3, 0]觸發了非軸對稱的[2, 2]，而[6, 0]觸發了[3, 0]，且它們都以各自的特徵頻率振動。就此，被外力觸發的高次模態會是諧波，而被高次模態觸發的低次模態則是次諧波。即使高、低次模態的頻率不是準確的整數倍，高次模態還是可以觸發低次模態。相對的，當低次模態被觸發時，高次模態雖然也可能被觸發，但兩者都會是諧波，且振幅相對小很多。實驗中，當[2, 0]觸發[3, 0]和[4, 0]時，所有模態都以外力的頻率振盪。就此，被外力觸發的低次模態是諧波，而被低次模態觸發的高次模態也是諧波；超諧波似乎從沒在這些實驗中被觀察到。對此，Trinh等人認為低次模態容易被觸發，因為他們因黏滯性造成的能量耗損較低。
對照Trinh等人的實驗觀察與Tsamopoulos和Brown的理論，實驗凸顯了理論的不足。首先，理論預測了與實驗不一致的模態配對關係。其次，理論模擬液滴的自然振盪，並未包含振盪液滴的外力，所以無法指出各模態究竟是諧波、次諧波或超諧波。對任何需要精確觸發或抑制液滴模態的應用而言，這些資訊將是非常重要的控制參數。
過去半個世紀，相關研究陸續揭露了懸浮液滴的各種共振行為，但許多面相仍舊撲朔迷離。就小振幅振盪而言，Rayleigh和Lamb預測的特徵頻率得到了實驗的初步驗證。實驗中，液滴變形改變模態特徵頻率的現象也有了理論的解釋。這些理論更預測了各模態在變形液滴上的特徵頻率。至今，最低次的幾個zonal和sectoral模態已經被成功地觸發。然而，tesseral模態幾乎都沒被觀察到。相關模型通常不包含振盪液滴的外力，所以實驗者欲以單頻振盪觸發特定模態時，外力的頻率和振幅只在實驗中以嘗試錯誤的方式來決定。也因為理論的不足，各模態究竟如何能以諧波、次諧波甚至超諧波的形態出現，至今仍是個謎。最後，大振幅振盪顯然缺乏完整的理論模型，所以既有的理論難以解釋實驗中觀察到的諸多現象。自從Rayleigh於1879年發表懸浮液滴的第一套理論，人類拼湊懸浮液滴的共振頻譜已屆一百四十年。時至今日，頻譜上仍存在著諸多失落的拼圖，有待相關學者努力探尋，繼續在這個基礎科問題上發掘更多的驚喜。
1.Trinh, E. and T.G. Wang, Large-Amplitude Free and Driven Drop-Shape Oscillations - Experimental-Observations. Journal of Fluid Mechanics, 1982. 122(Sep): p. 315-338.
2.Tsamopoulos, J.A. and R.A. Brown, Non-Linear Oscillations of Inviscid Drops and Bubbles. Journal of Fluid Mechanics, 1983. 127(Feb): p. 519-537.
3.Tsamopoulos, J.A. and R.A. Brown, Resonant Oscillations of Inviscid Charged Drops. Journal of Fluid Mechanics, 1984. 147(Oct): p. 373-395.
4.Trinh, E.H., D.B. Thiessen, and R.G. Holt, Driven and freely decaying nonlinear shape oscillations of drops and bubbles immersed in a liquid: Experimental results. Journal of Fluid Mechanics, 1998. 364: p. 253-272.