█ 被「看到」的力量
文、圖◎黃育熙教授
從國高中物理接觸的牛頓力學第一運動定律：靜者恆靜、動者恆動，到第二運動定律：力量等於質量乘以加速度（F = ma），學生們在求學階段被多樣化的力學計算問題「荼毒」了許久，一直到進入機械領域強調的三力（靜力、動力、材力），許多人對於力學計算似乎都認為只是紙上談兵，頂多看到了掛已知重量的重物、或者利用彈簧伸長量來間接知道真正的「力量」量值。
本系學生一直到了大三，經由「量測原理與機械工程實驗」課程，才開始有力量是為間接量測獲得的量值的概念，乃是運用各種物理原理的感測器在一定假設或校正方式之下，進行實驗量測推算而得。當然對機械系的學生而言，最基本典型的力量量測感測元件就是應變規了。簡單來說，就是經由彎曲累積長度的金屬線所構成的電阻元件，藉由長度變化造成電阻的變化透過跨壓的改變，藉以反推該長度變化下的應變量值，再經由虎克定律計算出應力的大小。這種方法大約在1950年前後於金箔分佈形狀可掌控其製程後即商品化，成為基本應力應變量測的主流。
當然還有許多不同的原理可讓力被量測到，例如：壓電原理、電磁力交互作用原理、壓阻原理、電容原理等等。其中，可以直接被觀測到全面應力分佈的技術，光彈力學（Photoelasticity）的應力-光學特性可呈現相當吸引人的全域式應力條紋分佈。如圖一所示，基本的平面圓盤光彈材料（圖一（a））放置於光彈光學架設中（圖一（b））施予上下受壓應力載荷時（圖一（c））的光彈干涉條紋分佈（圖一（d）），並標示其主應力差之階數。
(a) (b） （c） （d）
█ 圖一 圓盤受壓應力之（a）光彈試片，含光源、偏光片、試件 （b）光彈實驗架設（c）壓應力荷重方式（d）光彈主應力差
這邊所謂的應力－光學特性乃是在於具有雙折射率（Birefraction）的光學材料在空間中具有應力對應至光學折射率改變的特性，描述為數學式即為
（1）
其中，1, 2, 3軸方向如圖二所標示，n1至n3即為光在這幾個軸向的折射率（光波速度比例），n0為材料於無應力狀態下的折射率（index of refraction of material in unstressed state），故可由公式中得知光波的速度與應力存在係數C1與C2的關係，稱之為應力光學係數（stress-optic coefficient）。因此，簡化為二維平面應力狀態可將（1）式寫為
（2）
由（2）式可以獲知當光波在兩光軸方向產生延遲（相位差）時，就會產生建設性干涉或破壞性干涉的現象，也就呈現了主應力的差值了，因此對光彈應力實驗而言，更常直接表示為主應力差的結果，即
（3）
其中， N 為光彈干涉條紋階數，如圖一（d）中所標示的整數數值， fσ fσ 為材料條紋常數material fringe value，h表光彈試片厚度。
█ 圖二 空間座標方向與對折射率
然而，多種應力量測的方法都各有其限制，例如光彈法主要的限制就是需要以光學應力雙折射特性的材料始能呈現材料受力後的光彈條紋，所以侷限於透明材料才有比較好的應力量測效果，非透明物件則需採用反射式光彈以貼片方式進行實驗，解析度與效果也大打折扣。而施力的方式也需要控制得宜，才有辦法順利判斷階數藉以反推主應力差值；另外，光彈法對應力條紋呈現的解析度也需有一定量值的應力大小，越大的力量負載使越多的應力條紋呈現得以進行更多的研究分析工作。因此，除了可以在光彈架設調整以獲得暗場影像（圖三（a））與亮場影像（圖三（b））之外，也可利用影像複立葉轉換進行高頻濾波、並搭配影像相減的技術獲得條紋倍增的影像（圖三（c）），以及二值化細線化的方法獲得精確的條紋階數位置（圖三（d））。所以除了力學實驗技術之外，跨領域的影像處理技術也是重要的研究方法之一。
（a） （b） （c） （d）
█ 圖三 光彈實驗的影像處理（a）暗場影像，（b）亮場影像，（c）條紋倍增，（d）細線化
在科技進步的當下，許多光學顯示元件要做到質輕精密、又要量產考慮成本的狀況下，例如應用於手機或筆電的鏡頭光學元件採用射出成形，即可利用光彈方法檢測其品質，原理即為射出成形的光學元件可能因為夾持或製程中的熱控制，使光學元件成形後仍具有殘留應力，造成顯影品質不良，故可將光學元件置於兩片偏光片的中央以白光照射，就會呈現如圖四（a）的彩色斑紋，工業界也應用此原理進行製造後的快速品管。另一因應力-光學係數可評估工業產品品質不良的案例，當屬液晶螢幕的偏光片的漏光現象，液晶顯示的成像品質欲達到完全遮光的效果，當屬光通方向完全的被偏光片遮檔，但若偏光片因薄膜製程時在拉力、膠合、或成品保存受溫濕度變化的影響，可能使偏光片的邊緣具有殘留應力，進而改變平面薄膜光通波前的相位延遲，造成如圖四（b）漏光現象。
（a） （b）
█ 圖四 應力光學係數特性以光彈實驗量測方法應用於工業案例
機械系的學生具有基本力學知識，這時候就可以拿起你手邊的透明物件，準備兩只偏光片向其他人展示：什麼叫做可以被看見的「應力」。如圖五（a）即手邊隨手可得的壓克力尺，直接擺入兩正交的偏光片中照射白光的效果，呈現出如同圖四（a）的塑膠射出成形的殘留應力現象；再如圖五（b）為筆者的眼鏡直接置入前述架構中，因為鏡片與鏡框的接觸位置具有點載荷的施力特性，因此可見得在鏡框邊緣具有點延伸而出的應力條紋，以上兩者皆是未給予外力狀態直接以初始邊界條件即可產生類似殘留應力造成的干涉條紋效果。而圖五（c）就是我上課常示範給同學觀看的案例：一片光彈環氧樹脂人形試片在手壓「頭部」與「腳部」模擬提取重物的力量分布表徵，多半就會在人的腿部與腰部呈現最密集的光彈條紋，顯示應力集中在該處使得負荷最大，若彎腰提取重物也最容易在應力集中處受傷。這也是在一些醫學上面的研究方法，例如牙科植牙或骨科埋入骨科器械的應力分布，就有研究方法利用光彈特性進行力學分析。機械系的同學也需要有個概念，各式幾何外型下的工件受相同的力量載荷在線性彈性範圍時的應力分布應相同，也就是說如果是像銅或鋼等金屬和紙或豆腐會有一樣的線性彈性應力分布結果，這聽起來很詭異但在線性彈性力學下的假設分析事實如此。這只是因為各式材料的線性彈性使用範圍使其承受的負載程度各有不同，以及其彈性係數使各自承受應力的變形程度在諸位讀者的生命經驗認知力量大小造成不同的效果導致。
（a） （b）
（c）
█ 圖五 各式透明物件置於正交光彈片下的應力條紋：（a）壓克力尺、（b）眼鏡鏡片含鏡框、（c）人形光彈試片
但對於專業工程分析而言，僅定性看到應力條紋是不夠的，需具有機械力學分析的專業知識，得以判斷如（3）式中的主應力差值階數始可進行定量分析，進行理論分析與實驗量測的相互比較，如圖六（a）與（b）即獲得光彈階數N=0.25,0.75,與1.25階數的條紋，便可代入（3）式依試片厚度與材料條紋常數即可計算主應力差值結果，但須注意階數的判斷亦必須由圓盤外部為0階的自由應力狀態，依序輸入施力點始可分析，這需要專業的力學背景知識才具有判斷的能力；圖六（c）為非透明的鋁合金在貼附光彈貼片後於5000牛頓的載荷下的有限元素法數值計算結果與光彈應力條紋與階數對應之主應力差值結果。如前述的工業成品如呈現光延遲的成像品質不良或漏光缺陷，也需要透過專業的力學與光學耦合分析，始可反算出材料的應力光學係數得以進行改質使成品設計趨於完美。
理論分析計算固然在基本假設下可大量節省設計開發的時間，是機械工程人員必須依循的有效且安全的準則，若非透過實驗實際量測也似乎無法取信於人，但唯有受過專業的機械力學訓練才有辦法精確的解讀數據的意義進而進行精密的分析設計。
（a） （b） （c）
圖六 （a）光彈圓盤受三點施力載荷之實驗量測、（b）理論分析，與（c）四點彎曲半試片之數值計算與光彈實驗結果
█ 誌謝
感謝馬劍清老師的破壞實驗室在筆者成為團隊成員初期在光彈應力實驗的啟蒙，感謝華夏科大洪光民副教授於筆者的實驗力學實驗室建立初期在光彈實驗的悉心指導，感謝臺科大機械系曾垂拱教授的實驗資源傳承，感謝畢業碩士的白廷文、黃泰榮、楊婷雅與劉美丞等歷屆學生的研究成果、以及感謝博士班閻建佑同學接續實驗技術傳承。
█ 延伸閱讀
James W. Dally, William F. Riley, Experimental stress analysis, (1978) McGraw-Hill, New York.
Kuang-Ming Hung and Chien-Ching Ma, Theoretical analysis and digital photoelastic measurement of circular disks subjected to partially distributed compressions, Experimental Mechanics 43-2 (2003),216–224.
Kuang-Ming Hung and Yu-Hsi Huang, Theoretical analysis and photoelastic experiment on full-field stress from multi-concentrated forces on circumference, Acta Mechanica 228-5 (2017), 1597–1619.
Yuriy V. Tokovyy, Yu-Hsi Huang, Chien-Yu Yen, and Chien-Ching Ma, Analytical and experimental evaluation of stresses in elastic annuli subjected to three-point loading on the outer surface, Applied Mathematical Modelling 73 (2019), 442-458.
Masayuki Satake, Development of pressure sensitive adhesive for LCD optical films, Nitto Denko Technology Report 47 (2009) 56–60.
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