█ 圖一　斜坡上穩態流動的光彈顆粒內部的傳力鏈(Force-Chain)結構，以高速攝影機拍攝的瞬間影像，乍看 很像一群外星人 (感謝李庚霖博士拍攝影像、張鈞棣老師發現這個趣味) [1]。

顆粒流，是一群離散固體顆粒集體運動的巨觀現象，常見於工業製程（顆粒研磨拋光、切削、穀糧運送分級包裝、3D列印進料等等），或是令人聞之色變之自然災害（山崩、雪崩與土石流）。而日常生活中，最熟悉的例子就是我們用來計時的沙漏裡，從上往下流動的沙流。
為了能更快速準確的預測或控制顆粒流，流體力學及物理科學領域的科學家，把顆粒流整體當成一種連續物質，花了很多的努力來建構其運動方程式，而研究的關鍵問題是其「本固關係（constitutiverelation） 」，以及「邊界條件 」。這個本固關係在敘述某種連續物質受力之後的變形或是運動反應，比如單位面積的彈性固體受拉力（拉伸應力）後、單位長度的變形量（縱向應變）將隨材料不同而改變，如一樣體積形狀的硬、軟橡皮擦，若用一樣的力去拉它們，變形量會不一樣；又比如對單位面積的牛頓流體（如我們身邊的空氣、水）施加簡切力後，流體流動的快慢則可透過單位時間單位長度材料的偏移距離—稱為「簡切率 」—來記錄，也是與材料性質有關。因此，本固關係描述的，其實是施力點的應力如何透過組成分子之間的交互作用力傳遞至整個連續體，引發不同的運動變形反應，而這個微觀作用的特性，因組成分子、連續體的熱力學狀態的差異而不同，我們常以材料參數來敘述。比如，材料力學裡學到連續固體受到拉伸應力後將造成的縱向應變，對應的是彈性係數的一種—楊氏係數（Young'sModulus），連續流體受簡切應力後運動的簡切率，則對應黏滯係數（viscosity），這兩種連續體的本固關係都符合「應力=材料係數×應變（或應變率）」這種形式。
所以，當我們想要描述顆粒流，我們就不能不關心其傳遞巨觀應力的微觀機制，也就是其組成顆粒之間的交互作用力了。這一篇文章，希望能簡介顆粒流內部的微觀傳遞機制。
先來說說一個靜止不動的沙堆，我們慣常把這個沙堆當成一個固體，因為它能在沒有邊界的狀態下維持某個高度與形狀，有別於永遠保持水平自由液面、且無法在沒有邊界時保持高度差之液體（比如水）；靜止的沙堆也與可以壓縮的氣體（比如空氣）不同，它和固體一樣幾乎不能被壓縮。也是上述的兩種「類固體」的特質，使得靜止的沙堆得以承受簡切力與正向力，讓我們可以在沙堆上行走，卻無法在水面上行走。仔細思考，這個承受外力的能力，來自於組成的固體沙粒間不可忽略的摩擦力。如圖二左堆疊在一個斜坡上的三塊積木，作用在它們上的重力分量（圖上黑色箭頭）會施加一個簡切力在積木堆上，但積木塊之間的靜摩擦力（圖上的紅色箭頭），能與之抗衡保持靜止。這個顆粒間的摩擦力能幫助原本是離散的組成顆粒形成體積更大的結構，在此結構未崩壞之前扮演一個傳遞（或抗衡）外力的單元。

█ 圖二　斜坡上固體滑塊受外力後內部摩擦力之作用示意圖（左）、儲存槽填充物排放之 示意圖（右）。

這個以顆粒間摩擦為基礎的微觀機制，在研究顆粒流的運動上是非常重要的一個觀點，我們慣稱這種能傳遞外力的結構單元為「傳力鏈」（Force-Chain），但要透過實驗上獲得它的資訊，需要特殊的設計。最常被採用的就是利用光彈材料（photo-elastic material）來製作組成顆粒，利用光彈材料受力時內部晶格結構改變而造成折射率改變的特性，來觀察均勻的背景光源照射下各個顆粒的受力狀況（需搭配偏振片的使用）。圖三就是利用一群光彈圓盤堆疊來模擬靜止的砂堆內部顆粒受力的狀況，可以清楚看到，顆粒體本身的重量，其實並未均勻分布，而是透過顆粒間的擠壓摩擦形成傳力鏈結構—照片裡看起來像閃電、或是血管錯縱交錯的結構—傳遞到下邊界上，這些傳力鏈結構似乎形成一個力的支架（forcematrix）在沙堆的內部，傳力鏈接近自由表面時因為負重小所以光場較暗、但越接近底床則受力較大而有較亮的光場。
這個傳力鏈結構，不只在靜止的顆粒體裡產生，在運動的顆粒流中也是處處存在著。比如圖四是一個在傾斜坡上緩慢但穩態流動的光彈顆粒流，我們將高速攝影機旋轉了斜坡傾斜角後拍攝其動態過程（往照片的右方移動），可以清楚看到傳力鏈結構隨著顆粒流的運動變形，當簡切力大過傳力鏈內顆粒之間的摩擦力時，此傳力鏈將斷裂，爾後重新生成新的傳力鏈，持續提供顆粒流內部一個傳遞力的機制，以較快的速度（類固體音速）影響較大範圍的尺寸（數十個顆粒）。而讓顆粒流本固關係建立有挑戰也最有趣的，是這不是唯一的微觀傳遞機制，那些不在傳力鏈內的顆粒（圖四中亮度灰暗的顆粒們）也正在運動、互相推擠碰撞著，正如同傳統牛頓流體內部的組成分子一般，這些有運動自由度的顆粒透過相互的「碰撞」來交換不均勻的力（或動量、能量），進行的空間尺度較小（幾個顆粒尺度）且速度較慢、我們較熟悉的「擴散（Diffusion）」傳遞。

█ 圖三　靜止堆積的光彈顆粒堆內部之傳力鏈結構[2]。

█ 圖四　光彈顆粒流內部傳力鏈結構因剪切運動而變形崩壞的過程（拍於每秒500張、 感謝李 庚霖博士拍攝影像）[1]。

至此，我們已經解釋顆粒流內部有兩種截然不同的傳遞機制，是它們整合的傳遞機制決定顆粒流的運動狀態及本固關係。一群相同的顆粒若有九成以上存在於傳力鏈中運度，勢必是一個變形緩慢、類固體的顆粒流；反之，我們只有在像流體一般快速流動的顆粒流內能找到高比例以碰撞模式做交互作用的顆粒。當流況改變時，顆粒體內部的傳遞機制也將因應改變，比如一個原本靜止於木板上的沙堆有約七成以上的顆粒存在傳力鏈內部，當我們逐漸增加木板的傾斜角度時，表面的顆粒將崩塌離開傳力鏈進入彈跳碰撞的模式，角度越大，有越多的顆粒改以碰撞作為傳遞機制。也因此，如何描述傳力鏈的消失與生成，是發展顆粒流本固關係的重要資訊，也是現今科學家努力透過數值計算（比如離散元素法DiscreteElementSimulation、分子動力計算MolecularDynamicsSimulation），或是創新的實驗方法想要釐清的現象，並進一步建立一統的本固關係模型[3]。我們將在此系列的下一篇文章中延續此觀點繼續介紹現今顆粒流的運動模型。
最後，當內部傳遞機制只有碰撞時，如圖二填充於漏斗內部的牛頓液體，其於漏斗頸部的壓力將隨著填充深度H增加，造成較快的排出速度（流量）。倘若填充的是同時具有摩擦傳遞機制的沙子，內部的傳力鏈能將力傳到漏斗側牆、透過摩擦力支撐隨深度增加的重量，也因此在足夠的填充深度之後頸部的壓力將飽和（此為著名的Janssens'effect[4])，使得頸部沙流的排出速度與儲存深度H幾乎無關，這也是沙漏能用來計時的最重要因素。

參考資料
[1] 固液二像流實驗室，科技部研究計畫「藉實驗及模擬探究微觀機制如何影響濃密顆粒流之本固關係式及邊界條件以推導其統一運動方程式」階段性研究成果。
[2] J.F. Geng, E.C. Longhi, R. Behringer & D.W. Howell, “Memory in two-dimensional heap
experiments,” Physical Review E 64: 060301 (2002)
[3] F.-L. Yang & K.L. Lee, “Grain and Powder Flows,” Multiphase Flow Handbook, 2nd edition, Ed.
Michaelides, Crowe, Schwarzkopf, CRC Press, Taylor and Francis Group, LLC (2017)
[4] H. A. Janssen, “ Versuche uber Getreidedruck in Silozellen,”Z. Ver. Dtsch. Ing. 39, 1045 (1895)